Liste des leçons
LEÇONS D’ALGÈBRE
ET GÉOMÉTRIE
101. Parties génératrices d’un
groupe (les généralités sur les groupes
seront supposées connues). Exemples.
102. Groupes monogènes, groupes cycliques.
Exemples.
103. Exemples de groupes finis. Applications.
104. Groupes opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
105. Permutations d’un ensemble fini, groupe symétrique.
Applications.
106. Congruences dans Z, anneau Z/nZ. Applications.
107. Propriétés élémentaires liées
à la notion de nombre premier.
108. PGCD, PPCM dans Z, théorème de Bézout.
Applications.
109. PGCD dans K[X], théorème de Bézout.
Applications.
110. Base de numération d’entiers. Applications.
111. Écriture décimale d’un nombre réel
; cas des nombres rationnels.
112. Polynômes irréductibles à une indéterminée
sur un corps commutatif. Factorisation. Cas des corps R et C.
113. Racines d’un polynôme à une indéterminée
sur un corps commutatif, multiplicité. Relations entre
les coecients et les racines d’un polynôme scindé.
Applications.
114. Racines n-ièmes de l’unité dans C.
115. Dimension d’un espace vectoriel admettant une famille
génératrice finie. Rang d’une application
linéaire.
116. Sommes et sommes directes de sous–espaces vectoriels
d’un espace vectoriel. Applications.
117. Rang en algèbre linéaire (on se limitera à
des espaces vectoriels de dimension finie).
118. Formes linéaires, hyperplans, dualité (on
se limitera à des espaces vectoriels de dimension finie).
119. Endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie,
polynôme d’endomorphisme.
120. Changements de bases en algèbre linéaire (applications
linéaires, formes bilinéaires. . .). Applications.
121. Opérations élémentaires sur les lignes
ou les colonnes d’une matrice. Applications.
122. Déterminants. Applications.
123. Trigonalisation des endomorphismes, sous–espaces caractéristiques.
Applications.
124. Endomorphismes diagonalisables.
125. Groupe des homothéties-translations dans le plan.
Exemples et applications.
126. Espaces vectoriels euclidiens (dimension
finie). Groupe orthogonal.
127. Groupe orthogonal d’un espace vectoriel euclidien de
dimension 3.
128. Formes quadratiques sur un espace vectoriel sur R ou sur
C. Classification dans chacun des deux cas.
129. Endomorphismes symétriques d’un espace vectoriel
euclidien (dimension finie). Applications.
130. Endomorphismes hermitiens en dimension finie.
131. Formes quadratiques sur un espace vectoriel euclidien (dimension
finie), applications géométriques (les généralités
sur les formes quadratiques seront supposées connues).
132. Applications géométriques des nombres complexes.
133. Similitudes planes directes et indirectes, formes réduites.
134. Isométries du plan ane euclidien, formes réduites.
Applications.
135. Isométries de l’espace ane euclidien de dimension
3, formes réduites.
136. Géométrie du triangle. Relations métriques
et trigonométriques.
137. Barycentres. Applications.
138. Orientation d’un espace vectoriel euclidien de dimension
3, produit mixte, produit vectoriel, applications.
139. Droites et plans dans l’espace.
140. Projecteurs et symétries dans un espace ane de dimension
finie.
141. Polygones réguliers dans le plan.
142. La parabole dans le plan ane euclidien.
143. L’ellipse dans le plan ane euclidien.
144. L’hyperbole dans le plan ane euclidien.
145. Coniques dans le plan ane euclidien.
146. Cercles dans le plan ane euclidien.
147. Étude locale des courbes planes paramétrées.
148. Propriétés métriques locales des courbes
de l’espace, en dimension 3.
149. Propriétés métriques locales des courbes
planes.
150. Mouvement à accélération centrale.
151. Cinématique du point : vitesse, accélération.
Exemples de mouvements. |
LEÇONS D’ANALYSE
201. Suites de nombres réels.
202. Étude de suites numériques définies
par diérents types de récurrence.
203. Approximations d’un nombre réel par des suites.
Rapidité de convergence.
204. Approximations d’un nombre irrationnel par des nombres
rationnels.
205. Approximations d’une solution d’une équation
numérique.
206. Séries à termes réels positifs.
207. Séries à termes réels ou complexes
: convergence absolue, semi–convergence (les résultats
relatifs aux séries à termes réels positifs
étant supposés connus).
208. Espaces vectoriels normés de dimension finie, normes
usuelles, équivalence des normes.
209. Espaces préhilbertiens : projection orthogonale sur
un sous-espace de dimension finie. Applications à l’approximation
des fonctions.
210. Parties compactes de Rn. Fonctions continues sur une telle
partie.
211. Parties connexes de R. Fonctions continues sur une telle
partie.
212. Parties connexes par arcs de Rn ; exemples. Applications.
213. Théorème du point fixe pour les contractions
d’une partie fermée d’un espace vectoriel normé
complet ; applications.
214. Suites de fonctions : divers modes de convergence et comparaison
de ces divers modes de convergence.
215. Séries de fonctions : convergence uniforme, convergence
normale (les résultats relatifs aux suites de fonctions
sont supposés connus). Propriétés de la
somme, exemples.
216. Séries entières. Rayon de convergence. Propriétés
de la somme.
217. Développement d’une fonction en série
entière ; exemples et applications.
218. Définition de l’exponentielle complexe et des
fonctions trigonométriques, nombre .
219. Séries de Fourier. Divers modes de convergence. Exemples.
220. Propriétés de la limite d’une suite de
fonctions d’une variable réelle (les divers modes
de convergence étant supposés connus).
221. Dérivabilité de la somme d’une série
de fonctions de classe Ck. Applications.
222. Comparaison d’une série et d’une intégrale.
Applications.
223. Théorème de Rolle : applications
224. Continuité, continuité uniforme de fonctions
numériques définies sur un intervalle. Applications.
225. Fonctions convexes d’une variable réelle. Applications.
226. Fonctions définies sur un intervalle à valeurs
dans R ou Rn : dérivabilité, accroissements finis.
227. Différentes formules de Taylor
pour une fonction d’une variable réelle et applications.
228. Fonction réciproque d’une fonction définie
sur un intervalle : cas d’une fonction continue,
cas d’une fonction dérivable. Exemples.
229. Calcul de valeurs approchées d’une intégrale.
Exemples d’estimation de l’erreur.
230. Intégrale impropre d’une fonction continue sur
un intervalle ouvert de R.
231. Définition de l’intégrale sur un intervalle
compact d’une fonction numérique continue. Propriétés.
232. Intégrales dépendant d’un paramètre.
Applications.
233. Équations diérentielles linéaires d’ordre
deux : x'' + a(t)x' + b(t)x = c(t), où a, b, c sont des
fonctions continues sur un intervalle de R.
234. Systèmes diérentiels linéaires à
coecients constants ; écriture matricielle ; exponentielle
d’une matrice.
235. Systèmes diérentiels linéaires Y 0
= AY à coecients réels constants en dimension 2.
Allure des trajectoires.
236. Équations diérentielles linéaires à
coecients constants.
237. Fonctions de plusieurs variables : dérivées
partielles, diérentielle. Fonctions de classe C1. Fonctions
composées.
238. Fonctions définies sur une partie convexe de Rn.
Inégalités des accroissements finis. Applications
239. Formule de Taylor–Young pour les fonctions de deux
variables de classe C2. Applications à la recherche d’extremums.
240. Suite de variables aléatoires indépendantes
de même loi de Bernoulli, variable aléatoire de
loi binomiale.
241. Probabilité conditionnelle et indépendance.
242. Espérance, variance, covariance, loi faible des grands
nombres.
243. Lois usuelles de variables aléatoires
possédant une densité : loi uniforme sur un intervalle
borné, loi exponentielle, loi normale.
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EXERCICES D’ALGÈBRE
ET GÉOMÉTRIE
301. Exercices sur les groupes finis.
302. Exercices faisant intervenir les notions de congruence et
de divisibilité dans Z.
303. Exercices faisant intervenir le théorème de
Bézout.
304. Exercices faisant intervenir les nombres premiers.
305. Exercices faisant intervenir les notions de PGCD et PPCM
et mettant en œuvre des algorithmes associés.
306. Exercices faisant intervenir des dénombrements.
307. Exercices faisant intervenir les relations entre coecients
et racines d’un polynôme.
308. Exercices faisant intervenir polynômes et fractions
rationnelles sur R ou C.
309. Exercices d’algèbre linéaire faisant
intervenir les polynômes.
310. Exercices faisant intervenir la notion de rang.
311. Exercices sur les matrices carrées inversibles.
312. Exercices faisant intervenir des systèmes linéaires.
313. Exercices faisant intervenir des déterminants.
314. Exemples de recherche et d’emploi de vecteurs propres
et valeurs propres.
315. Exercices faisant intervenir la réduction des endomorphismes.
316. Exercices sur les endomorphismes diagonalisables.
317. Exercices faisant intervenir des projecteurs ou des symétries.
318. Exemples de méthodes et d’algorithmes de calcul
en algèbre linéaire.
319. Exercices sur les isométries vectorielles dans les
espaces euclidiens en dimension 2 et en dimension 3.
320. Exercices faisant intervenir la réduction des matrices
réelles symétriques.
321. Exercices sur les formes quadratiques.
322. Exercices de géométrie résolus à
l’aide des nombres complexes.
323. Exercices faisant intervenir des similitudes planes directes
et indirectes.
324. Exercices faisant intervenir des isométries anes
en dimension 2 et en dimension 3.
325. Exercices faisant intervenir la notion de barycentre.
326. Exemples de propriétés anes et de propriétés
métriques en dimension 2 et en dimension 3.
327. Exercices sur les aires et les volumes de figures simples.
328. Exercices faisant intervenir les notions d’angles et
de distances en dimension 2 et en dimension 3.
329. Exercices sur la cocyclicité.
330. Exercices sur les cercles.
331. Exercices de géométrie plane faisant intervenir
la notion d’angle.
332. Exercices de géométrie plane faisant intervenir
des triangles isométriques ou semblables.
333. Exercices sur les coniques.
334. Exemples d’étude de courbes planes.
335. Exercices sur les propriétés métriques
des courbes planes (longueur, courbure. . .).
336. Exercices sur les propriétés métriques
des courbes de l’espace.
337. Exemples d’intervention de transformations planes pour
l’étude de configurations et de lieux géométriques.
338. Exemples d’étude des isométries laissant
invariante une partie du plan, une partie de l’espace.
339. Exemples de groupes en géométrie.
340. Exercices de géométrie en dimension 3.
341. Exercices de construction en géométrie plane.
342. Exemples de choix de repères pour la résolution
d’exercices de géométrie en dimension 2 et
en dimension 3.
343. Exercices de cinématique du point.
344. Exemples d’étude de problèmes de mécanique
du point.
345. Exercices sur les triangles.
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EXERCICES D’ANALYSE
401. Exemples d’étude de suites de nombres réels
ou complexes.
402. Exemples d’étude de suites ou de séries
divergentes.
403. Exemples d’étude de suites définies par
une relation de récurrence.
404. Exemples d’étude de la convergence de séries
numériques.
405. Exemples de calcul exact de la somme d’une série
numérique.
406. Exemples de comportement asymptotique de suites ; rapidité
de convergence ou de divergence.
407. Exemples d’évaluation asymptotique de restes
de séries convergentes, de sommes partielles de séries
divergentes.
408. Exemples d’étude de séries réelles
ou complexes non absolument convergentes.
409. Exercices sur les suites de polynômes orthogonaux.
410. Comparaison sur des exemples de divers modes de convergence
d’une suite ou d’une série de fonctions d’une
variable réelle.
411. Exemples d’étude de fonctions définies
par une série.
412. Exemples de développements en série entière.
Applications.
413. Exemples d’emploi de séries entières
ou trigonométriques pour la recherche de solutions d’équations
diérentielles.
414. Exemples de séries de Fourier et de leurs applications.
415. Exemples d’applications du théorème des
accroissements finis pour une fonction numérique d’une
variable réelle.
416. Exemples d’encadrements de fonctions numériques
; utilisations.
417. Exemples d’approximations de fonctions numériques
; utilisations.
418. Exemples d’utilisation de développements limités.
419. Exemples d’utilisation d’intégrales pour
l’étude de suites et de séries.
420. Exemples d’utilisation de suites ou de séries
pour l’étude d’intégrales.
421. Exemples de calcul de l’intégrale d’une
fonction continue sur un segment.
422. Exemples d’étude d’intégrales impropres.
423. Exemples d’intégration sur un intervalle.
424. Exemples de calculs d’aires et de volumes.
425. Exemples de calculs d’intégrales multiples.
426. Exemples d’étude de fonctions définies
par une intégrale.
427. Exemples de résolution d’équations diérentielles
scalaires.
428. Exemples de résolution de systèmes diérentiels.
429. Exemples d’équations diérentielles simples
issues des sciences expérimentales ou de l’économie.
430. Exemples de recherche d’extremums d’une fonction
numérique d’une variable, d’une fonction numérique
de deux variables.
431. Exemples d’approximations d’un nombre réel.
432. Approximations du nombre .
433. Exemples d’utilisation de changement de variable(s)
en analyse.
434. Exemples d’étude probabiliste de situations
concrètes.
435. Exemples de modélisation probabiliste.
436. Exemples de variables aléatoires et applications.
437. Exemples de problèmes de dénombrement.
438. Exemples de calculs de la norme d’une application linéaire
continue.
439. Exemples de calculs de la longueur d’un arc de classe
C1.
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