I- Espace Vectoriel Euclidien
Définition,
Exemples : Rn[X], Mn,p(R)
Règles de calculs :
1) Règle du parallélogramme
2) Polarisation
3) Inégalité de Schwarz, cas de l'égalité
4) Inégalité de Minkowski, cas de l'égalité

Prop et def : norme euclidienne

II- Orthogonalité

Définitions
Théorème de Pythagore
Th fondamental : si E euclidien alors
1) tt sev de E admet un supp orthogonal
2) E admet une base orthonormale
3) tte famille orthonormale peut être complétée en une base orthonormale

Procédé de Schmidt

III- Groupe Orthogonal

Définition: endo orthogonal (conserve le produit scalaire)
Théorème : f orthogonal ssi f conserve la norme
Caractérisation : f orthogonal ssi
1) l'image d'une base orthonormale est une base orthonormale
2) f* = f-1
3) sa matrice est orthogonale
Conséquence : abs(det f) =1

Théorème : Groupes O(E), SO(E), On(R), SOn(R)
Prop : On(R), SOn(R) parties compactes de Mn(R)

IV- Réduction des isométries

(Voir Gourdon)